Definición de probabilidad

La probabilidad de un suceso es un número, comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.

• Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

 Ejemplo

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la piedra bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

• Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

• Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

• Espacio muestral:

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

• Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

• Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5

Ejercicio 1:

Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de:

1 Sea roja.

2 Sea verde.

3 Sea amarilla.

Ejercicio 2:

En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45 alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:

1 Sea hombre.

2 Sea mujer morena.

Diagrama de barras

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas o acumuladas.

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Ejemplo

Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado:

Polígonos de frecuencia

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

Ejemplo

Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Histograma

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polígono de frecuencia

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo.

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

Definición de moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Se representa por M_o.

Se puede hallar la moda para variables cualitativas y cuantitativas.

Hallar la moda de la distribución:

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M_o= 4

Si en un grupo hay dos o varias puntuaciones con la misma frecuencia y esa frecuencia es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.

1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9M_o= 1, 5, 9

Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia, no hay moda.

2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9

Si dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las dos puntuaciones adyacentes.

0, 1, 3, 3, 5, 5, 7, 8Mo = 4

Definición de mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por M_e.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo

k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

Problema de: probabilidad

El número de estudiantes admitidos para el primer semestre del 2002, en tres facultades (datos ficticios), se muestra en la tabla siguiente:

Determine, cuál es la probabilidad de que:

a. No sea estudiante de Medicina.

b. Sea de Medicina o Enfermería.

c. Sea hombre o de Enfermería.

d. Sea mujer y sea de Enfermería.

e. Sea hombre de Educación Física

practica en la cruz roja

Practica respecto al muestreo:

Se realizo una investigación en la Cruz Roja Mexicana para saber cuantos servicios y llamadas falsas se realizaron durante los primeros 15 días del mes de agosto del 2012:

1. RMC:

Y= A+BX

A= 0.1590

B= 0.0231

2. COEFICIENTE DE CORRELACION

r= 0.1507 = 15.07%

3. Por cada día que se recibieron llamadas de emergencia a la Cruz Roja Mexicana durante los primeros 15 días del mes de Agosto, el 93% de las llamadas fueron verdaderas.
4. GRAFICA:

1. Se realizo un conteo de las llamas recibidas en la Cruz Roja Mexicana, durante los primeros 15 días del mes de Agosto, dando como resultado que el 15.07% de las llamadas son falsas, y el otro 83.93%, son llamadas verdaderas  que fueron atendidas

ejercicio # 2

Practica

1.- La estatura de cierta población de individuos sigue una distribución normal con M = 70 pulgadas y desviación igual a 3 pulgadas. Hallar la probabilidad de que una persona seleccionada al azar tenga una estatura entre 65 y 74 pulgadas.

2.- Suponga que las edades de inicio de ciertas enfermedades tiene una distribución aproximadamente normal, con una media de 11.5 años y una desviación estándar de 3 años. Un niño contrae recientemente la enfermedad. Cuál es la probabilidad de que la edad del niño sea:

a) Entre 8.5 y 14.5 años.

b) Mas de 10 años.

c) Menos de 12.

3.- Suponga que el tiempo promedio de permanencia hospitalaria por enfermedad crónica para un tipo de pacientes es de 60 días, con una desviación estándar de 15. Sí es razonable suponer que se tiene una distribución aproximadamente normal para el tiempo de hospitalización, calcula la probabilidad de que un paciente, elegido aleatoriamente entre ese grupo, tenga una hospitalización:

a) Mayor que 50 días.

b) Entre 30 y 50 días.

c) Menor que 30 días.

d) De más de 90 días.

Respuestas (ejercicio 2)

Respuestas (ejercicio 2)

1. Hallar la probabilidad de que nadie en esta población tenga un accidente en un año en particular.

P (0)e-^2.4 X 2.4⁰= 0.9007%

2. Hallar la probabilidad de que una persona tenga un accidente.

P (1)e-^2.4X 2.4¹= 0.2177%

a).Exactamente 7 personas mueran por esa enfermedad

λ= 10p (7) e-10X107 = 0.0900%

                       7!

b)No halla muertes por esa enfermedad

P (0)e-¹⁰X10⁰ = 0.00004

c)Existan exactamente 5 ratas

λ= 5p (5)e-⁵X10⁵ = 17.5%

d)Existan mas de 5 ratas

λ= 6P (6)e-⁵X10⁶ = 9.35%

λ= 7P (7)e-⁵X10⁷ =13.36%

d)Existan menos de 5 ratas

λ= 4P (4) e-⁵X10⁴ = 2.80%

λ= 3P (3) e-⁵X10³ = 1.12%

e)Existan entre 5 y 7 ratas

λ= 5P (5)e-5X105 = 5.61

λ= 6P (6)e-⁵X10⁶ = 9.35%

                  6!

λ=7P (7)e-⁵X10⁷ =13.36%